高中数学必修四课后习题涉及了向量、三角函数、不等式、数列等多个重要知识点。向量部分包括向量的加法、减法、数乘以及向量的模和点积等概念，需要掌握其基本性质和运算规则。三角函数部分则包括正弦、余弦、正切等函数的性质和图像，以及它们的和差化积、倍角公式等。不等式部分则包括基本不等式、均值不等式、柯西不等式等，需要掌握其证明方法和应用。数列部分则包括等差数列、等比数列的概念、性质和求和公式，以及数列的极限等概念。，，在解析这些习题时，需要注重对知识点的理解和掌握，同时也要注意题目的解题思路和方法。在解向量问题时，需要先判断向量是否共线或垂直，再利用向量的性质进行计算；在解三角函数问题时，需要先根据题目条件确定函数的定义域和值域，再利用函数的性质进行求解；在解不等式问题时，需要先判断不等式的类型和性质，再利用不等式的性质进行求解；在解数列问题时，需要先判断数列的类型和性质，再利用数列的求和公式或极限概念进行求解。，，高中数学必修四课后习题的解析需要注重对知识点的理解和掌握，同时也要注意题目的解题思路和方法，通过不断的练习和思考来提高自己的数学水平。

高中数学作为学生时代的重要学科之一，不仅在学术上占据着举足轻重的地位，在培养逻辑思维、问题解决能力方面也具有不可替代的作用，而高中数学必修四，作为高中数学的一个重要阶段，其内容涵盖了三角函数、向量与解几、数列等多个重要知识点，这些知识点不仅在高考中占据重要分值，也是后续学习高等数学的基础，掌握高中数学必修四的课后习题答案，对于学生来说至关重要，本文将针对高中数学必修四的课后习题进行详细解析，旨在帮助学生更好地理解知识、巩固基础、提升解题能力。

一、三角函数

三角函数是高中数学必修四的基石，包括正弦、余弦、正切等基本函数及其性质、图像、诱导公式等。

1. 课后习题解析

例1： 已知 $\sin \alpha = \frac{1}{2}$，求 $\cos^2 \alpha$ 的值。

解析： 利用同角三角函数的基本关系式 $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$，代入 $\sin \alpha = \frac{1}{2}$，得 $\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$。

例2： 已知 $\tan \alpha = 2$，求 $\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$ 的值。

解析： 利用切化弦公式 $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$，将原式转化为 $\frac{\tan \alpha + 1}{\tan \alpha - 1}$，代入 $\tan \alpha = 2$，得 $\frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$。

二、向量与解几

向量与解几部分主要涉及向量的基本概念、运算、数量积以及平面几何和立体几何中的相关问题。

1. 课后习题解析

例3： 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, k)$，若 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，求 $k$ 的值。

解析： 向量平行的条件是两向量的分量之比相等，即 $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$，代入 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的分量，得 $\frac{1}{3} = \frac{2}{k}$，解得 $k = 6$。

例4： 在直角三角形 ABC 中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = 3$，$BC = 4$，求 $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$。

解析： 利用向量的数量积公式 $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$，$\theta$ 为两向量的夹角，由于 $\angle C$ 是直角，$\vec{AB}$ 和 $\vec{AC}$ 的夹角为 $90^\circ$，$\cos 90^\circ = 0$，$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$。

三、数列

数列部分是高中数学必修四中较为抽象但重要的内容，包括等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式等。

1. 课后习题解析

例5： 已知等差数列 $\{ a_n \}$ 的前三项为 $a_1 = 5$，$a_2 = 8$，$a_3 = 11$，求其通项公式及前n项和公式。

解析： 设等差数列的公差为 $d$，由 $a_2 - a_1 = d$ 得 $d = 3$，通项公式为 $a_n = a_1 + (n - 1)d = 5 + (n - 1) \times 3 = 3n + 2$，前n项和公式为 $S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} (5 + 3n + 2) = \frac{3n^2 + 7n}{2}$。

例6： 在等比数列 $\{ b_n \}$ 中，首项 $b_1 = 2$，公比 $q = -2$，求前n项和 $S_n$。

解析： 等比数列的前n项和公式为 $S_n = b_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$（当 $q \neq 1$），代入 $b_1 = 2$ 和 $q = -2$ 得 $S_n = 2 \times \frac{1 - (-2)^n}{1 - (-2)} = \frac{2(1 - (-2)^n)}{3}$，注意当 $n$ 为偶数时需考虑符号变化。

四、综合应用题解析

综合应用题往往涉及多个知识点的综合运用，要求学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。

例7： 在等差数列 $\{ a_n \}$ 中，若 $a_3 + a_7 + a_{11} = 30$，求 $a_5 + a_9$ 的值。

解析： 设等差数列的公差为 $d$，由等差数列的性质知 $a_3 + a_{11} = 2a_7$（因为它们与 $a_7$ 的距离相等）。$a_3 + a_7 + a_{11} = 3a_7 = 30$，得 $a_7 = 10$，再由等差数列的性质知 $a_5 + a_9 = 2a_7 = 20$。

通过上述对高中数学必修四课后习题的详细解析，我们可以看到每个知识点在解题过程中的重要性以及它们之间的内在联系，掌握这些知识点及其应用方法不仅能够帮助学生在考试中取得好成绩，更重要的是能够培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，希望同学们能够通过不断的练习和思考，真正理解并掌握这些知识，为未来的学习和生活打下坚实的基础。